Закон гука определение и формула Обобщенный закон гука сопромат формула и формулировка.

Главная » Закон гука определение и формула Обобщенный закон гука сопромат формула и формулировка.

При растяжении и сжатии стержня изменяются его длина и размеры поперечного сечения. Если мысленно выделить из стержня в недеформированном состоянии элемент длиной dx, то после деформации его длина будет равна dx { (рис. 3.6). При этом абсолютное удлинение по направлению оси Ох будет равно

а относительная линейная деформация е х определяется равенством

Поскольку ось Ох совпадает с осью стержня, вдоль которой действуют внешние нагрузки, назовем деформацию е х продольной деформацией, у которой в дальнейшем индекс будем опускать. Деформации в направлениях, перпендикулярных к оси, называются поперечными деформациями. Если обозначить через характерный размер поперечного сечения (рис. 3.6), то поперечная деформация определяется соотношением 

Относительные линейные деформации являются безразмерными величинами. Установлено, что поперечные и продольные деформации при центральном растяжении и сжатии стержня связаны между собой зависимостью

Входящая в это равенство величина v называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Этот коэффициент является одной из основных постоянных упругости материала и характеризует его способность к поперечным деформациям. Для каждого материала он определяется из опыта на растяжение или сжатие (см. § 3.5) и вычисляется по формуле

Как следует из равенства (3.6), продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные знаки, что является подтверждением очевидного факта — при растяжении размеры поперечного сечения уменьшаются, а при сжатии увеличиваются.

Для различных материалов коэффициент Пуассона различен. Для изотропных материалов он может принимать значения в пределах от 0 до 0,5. Например, для пробкового дерева коэффициент Пуассона близок к нулю, а для резины он близок к 0,5. Для многих металлов при нормальных температурах величина коэффициента Пуассона находится в пределах 0,25+0,35.

Как установлено в многочисленных экспериментах, для большинства конструкционных материалов при малых деформациях между напряжениями и деформациями существует линейная связь

Этот закон пропорциональности впервые был установлен английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука.

Входящая в закон Гука постоянная Е называется модулем упругости. Модуль упругости является второй основной постоянной упругости материала и характеризует его жесткость. Поскольку деформации являются безразмерными величинами, из (3.7) следует, что модуль упругости имеет размерность напряжения.

В табл. 3.1 приведены значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для различных материалов.

При проектировании и расчетах конструкций наряду с вычислением напряжений необходимо также определять перемещения отдельных точек и узлов конструкций. Рассмотрим способ вычисления перемещений при центральном растяжении и сжатии стержней.

Абсолютное удлинение элемента длиной dx (рис. 3.6) согласно формуле (3.5) равно

Таблица 3.1

Наименование материалаМодуль упругости, МПаКоэффициентПуассона
Сталь углеродистая
Сплавы алюминия
Сплавы титана
(1,15-s-1,6) 10 5
вдоль волокон(0,1 ^ 0,12) 10 5
поперек волокон(0,0005 + 0,01)-10 5
(0,097 + 0,408) -10 5
Кладка из кирпича(0,027 +0,03)-10 5
Стеклопластик СВАМ
Текстолит(0,07 + 0,13)-10 5
Резина на каучуке

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до х, получим

где и(х ) — осевое перемещение произвольного сечения (рис. 3.7), а С= и( 0) — осевое перемещение начального сечения х = 0. Если это сечение закреплено, то и(0) = 0 и перемещение произвольного сечения равно

Удлинение или укорочение стержня равно осевому перемещению его свободного торца (рис. 3.7), величину которого получим из (3.8), приняв х = 1:

Подставив в формулу (3.8) выражение для деформации? из закона Гука (3.7), получим

Для стержня из материала с постоянным модулем упругости Е осевые перемещения определяются по формуле

Входящий в это равенство интеграл можно вычислить двумя способами. Первый способ заключается в аналитической записи функции а(х) и последующем интегрировании. Второй способ основан на том, что рассматриваемый интеграл численно равен площади эпюры а на участке . Вводя обозначение

Рассмотрим частные случаи. Для стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р (рис. 3.3, а), продольная сила./Vпостоянна по длине и равна Р. Напряжения а согласно (3.4) также постоянны и равны 

Тогда из (3.10) получаем

Из этой формулы следует, что если напряжения на некотором участке стержня постоянны, то перемещения изменяются по линейному закону. Подставляя в последнюю формулу х = 1, найдем удлинение стержня:

Произведение EF называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии. Чем больше эта величина, тем меньше удлинение или укорочение стержня.

Рассмотрим стержень, находящийся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.8). Продольная сила в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от закрепления, равна

Разделив на F, получим формулу для напряжений

Подставляя это выражение в (3.10) и интегрируя, находим

Наибольшее перемещение, равное удлинению всего стержня, получим, подставив в (3.13)х = /:

Из формул (3.12) и (3.13) видно, что если напряжения линейно зависят отх, то перемещения изменяются по закону квадратной параболы. Эпюры N, о и и показаны на рис. 3.8.

Общая дифференциальная зависимость, связывающая функции и(х) и а(х), может быть получена из соотношения (3.5). Подставляя в это соотношение е из закона Гука (3.7), найдем

Из этой зависимости следуют, в частности, отмеченные в рассмотренных выше примерах закономерности изменения функции и(х).

Кроме того, можно заметить, что если в каком-либо сечении напряжения а обращаются в нуль, то на эпюре и в этом сечении может быть экстремум.

В качестве примера построим эпюру и для стержня, изображенного на рис. 3.2, положив Е- 10 4 МПа. Вычисляя площади эпюры о для различных участков, находим:

сечение х = 1 м:

сечение х = 3 м:

сечение х = 5 м:

На верхнем участке стержня эпюра и представляет собой квадратную параболу (рис. 3.2, е). При этом в сечении х = 1 м имеется экстремум. На нижнем участке характер эпюры является линейным.

Общее удлинение стержня, которое в данном случае равно

можно вычислить, воспользовавшись формулами (3.11) и (3.14). Поскольку нижний участок стержня (см. рис. 3.2, а) растягивается силой Р { его удлинение согласно (3.11) равно

Действие силы Р { передается также и на верхний участок стержня. Кроме того, он сжимается силой Р 2 и растягивается равномерно распределенной нагрузкой q. В соответствии с этим изменение его длины вычисляется по формуле

Суммируя значения А/, и А/ 2 , получим тот же результат, что приведен выше.

В заключение следует отметить, что, несмотря на малую величину перемещений и удлинений (укорочений) стержней при растяжении и сжатии, пренебрегать ими нельзя. Умение вычислять эти величины важно во многих технологических задачах (например, при монтаже конструкций), а также для решения статически неопределимых задач.2.6. Предел прочности2.7. Условие прочности3.Внутренние силовые факторы (всф)3.1. Случай воздействия внешних сил в одной плоскости3.2. Основные соотношения между погонной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом MxОтсюда вытекает соотношение, называемое первым уравнением равновесия элемента балки4.Эпюры всф5. Правила контроля построения эпюр6. Общий случай напряженного состояния6.1.Нормальные и касательные напряжения6.2. Закон парности касательных напряжений7. Деформации8. Основные предположения и законы, используемые в сопротивлении материалов8.1. Основные предположения, используемые в сопротивлении материалов8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материаловПри наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.9. Примеры использования законов механики для расчета строительных сооружений9.1. Расчет статически неопределимых систем9.1.1. Статически неопределимая железобетонная колонна9.1.2 Температурные напряжения9.1.3. Монтажные напряжения9.1.4. Расчет колонны по теории предельного равновесия9.2. Особенности температурных и монтажных напряжений9.2.1. Независимость температурных напряжений от размеров тела9.2.2. Независимость монтажных напряжений от размеров тела9.2.3. О температурных и монтажных напряжениях в статически определимых системах9.3. Независимость предельной нагрузки от самоуравновешенных начальных напряжений9.4. Некоторые особенности деформирования стержней при растяжении и сжатии с учетом силы тяжести9.5. Расчет элементов конструкций с трещинамиПорядок расчета тел с трещинами9.6. Расчет конструкций на долговечность9.6.1. Долговечность железобетонной колонны при наличии ползучести бетона9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов9.7 Теория накопления микроповреждений10. Расчет стержней и стерневых систем на жесткостьСоставные стержниСтержневые системы10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции10.2. Формула Мора для стержневых систем11. Закономерности разрушения материала11.1. Закономерности сложного напряженного состояния11.2. Зависимость иот касательных напряжений11.3. Главные напряженияВычисление11.4. Виды разрушений материалов11.5.Теории кратковременной прочности11.5.1.Первая теория прочности11.5.2.Вторая теория прочности11.5.3.Третья теория прочности (теория максимальных касательных напряжений)11.5.4.Четвертая теория (энергетическая)11.5.5. Пятая теория – критерий Мора12. Краткое изложение теорий прочности в задачах сопротивления материалов13. Расчет цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего давления14. Усталостное разрушение (циклическая прочность)14.1. Расчет сооружений при циклическом нагружении с помощью диграммы Вёлера14.2. Расчет сооружений при циклическом нагружении по теории развивающихся трещин15. Изгиб балок15.1. Нормальные напряжения. Формула Навье15.2. Определение положения нейтральной линии (оси х) в сечении15.3 Момент сопротивления15.4 Ошибка Галилея15.5 Касательные напряжения в балке15.6. Касательные напряжения в полке двутавра15.7. Анализ формул для напряжений15.8. Эффект Эмерсона15.9. Парадоксы формулы Журавского15.10. О максимальных касательных напряжениях (τzy)max15.11. Расчеты балки на прочность1. Разрушение изломом2.Разрушение срезом (расслоение).3. Расчет балки по главным напряжениям.4. Расчет по III и IV теориям прочности.16. Расчет балки на жесткость16.1. Формула Мора для вычисления прогиба16.1.1 Методы вычисления интегралов. Формулы трапеций и СимпсонаФормула трапецийФормула Симпсона. Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки16.2.1 Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки16.2.2 Правила Клебша16.2.3 Условия для определения с и dПример вычисления прогиба16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера16.4. Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании16.5. Бесконечная балка на упругом основании17. Потеря устойчивости17.1 Формула Эйлера17.2 Другие условия закрепления.17.3 Предельная гибкость. Длинный стержень.17.4 Формула Ясинского.17.5 Продольный изгиб18. Кручение валов18.1. Кручение круглых валов18.2. Напряжения в сечениях вала18.3. Расчет вала на жесткость18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля18.7. Кручение стержней открытого профиля19. Сложная деформация19.1. Эпюры внутренних силовых факторов (всф)19.2. Растяжение с изгибом19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом19.4 Косой изгиб19.5. Проверка прочности круглых стержней при кручении с изгибом19.6 Внецентренное сжатие. Ядро сечения19.7 Построение ядра сечения20. Динамические задачи20.1. Удар20.2 Область применения формулы для коэффициента динамичностиВыражение коэффициента динамичности через скорость ударяющего тела20.4. Принцип Даламбера20.5. Колебания упругих стержней20.5.1. Свободные колебания20.5.2. Вынужденные колебанияСпособы борьбы с резонансом20.5.3 Вынужденные колебания стержня с демпфером21. Теория предельного равновесия и её использование при расчете конструкций21.1. Задача изгиба балки Предельный момент.21.2. Применение теории предельного равновесия для расчетаЛитератураСодержание

Содержание скрыть
1 8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов

8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов

Здесь
продольная сила,— длина бруса, А — площадь его поперечного сечения, Е — коэффициент упругости первого рода (модуль Юнга ).

С учетом формул для напряжений и деформаций, закон Гука записывают следующим образом:
.

Аналогичная связь наблюдается в экспериментах и между касательными напряжениями и углом сдвига:

.

называют модулем сдвига , реже – модулем упругости второго рода. Как и любой закон, имеет предел применимости и закон Гука. Напряжение
, до которого справедлив закон Гука, называетсяпределом пропорциональности (это важнейшая характеристика в сопромате).

Изобразим зависимость  от  графически (рис.8.1). Эта картина называется диаграммой растяжения . После точки В (т.е. при
) эта зависимость перестает быть прямолинейной.

При
после разгрузки в теле появляются остаточные деформации, поэтомуназываетсяпределом упругости .

При достижении напряжением величины σ = σ т многие металлы начинают проявлять свойство, которое называется текучестью . Это означает, что даже при постоянной нагрузке материал продолжает деформироваться (то есть ведет себя как жидкость). Графически это означает, что диаграмма параллельна абсциссе (участок DL). Напряжение σ т, при котором материал течет, называется пределом текучести .

Некоторые материалы (Ст.3 — строительная сталь) после непродолжительного течения снова начинают сопротивляться. Сопротивление материала продолжается до некоторого максимального значения σ пр, в дальнейшем начинается постепенное разрушение. Величина σ пр — называется пределом прочности (синоним для стали: временное сопротивление, для бетона – кубиковая или призменная прочность). Применяют также и следующие обозначения:

=b

Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментах между касательными напряжениями и сдвигами.

3) Закон Дюгамеля – Неймана (линейного температурного расширения):

При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.

Пусть имеется перепад температур
. Тогда этот закон имеет вид:

Здесь α — коэффициент линейного температурного расширения — длина стержня, Δ— его удлинение.

4) Закон ползучести .

Исследования показали, что все материалы сильно неоднородны в малом. Схематическое строение стали изображено на рис.8.2.

Некоторые из составляющих обладают свойствами жидкости, поэтому многие материалы под нагрузкой с течением времени получает дополнительное удлинение
(рис.8.3.) (металлы при высоких температурах, бетон, дерево, пластики – при обычных температурах). Это явление называетсяползучестью материала.

Для жидкости справедлив закон: чем больше сила, тем больше скорость движения тела в жидкости . Если это соотношение линейно (т.е. сила пропорциональна скорости), то можно записать его в виде:

Е
сли перейти к относительным силам и относительным удлинениям, то получим

Здесь индекс « cr » означает, что рассматривается та часть удлинения, которая вызвана ползучестью материала. Механическая характеристика называется коэффициентом вязкости.

Рассмотрим нагруженный брус

Введем понятие перемещения точки, например,

— вертикальное перемещение точки В;

— горизонтальное смещение точки С.

Силы
при этом совершают некоторую работуУчитывая, что силы
начинают возрастать постепенно и предполагая, что возрастают они пропорционально перемещениям, получим:

.

Согласно закону сохранения: никакая работа не исчезает, она тратится на совершение другой работы или переходит в другую энергию (энергия – это работа, которую может совершить тело.).

Работа сил
, тратится на преодоление сопротивления упругих сил, возникающих в нашем теле. Чтобы подсчитать эту работу учтем, что тело можно считать состоящим из малых упругих частиц. Рассмотрим одну из них:

Со стороны соседних частиц на него действует напряжение . Равнодействующая напряжений будет

Под действием частица удлинится. Согласно определению относительное удлинение это удлинение на единицу длины. Тогда:

Вычислим работу dW , которую совершает сила dN (здесь также учитывается, что силы dN начинают возрастать постепенно и возрастают они пропорциональны перемещениям):

Для всего тела получим:

.

Работа , которую совершило , называютэнергией упругой деформации.

Согласно закону сохранения энергии:

6)Принцип возможных перемещений .

Это один из вариантов записизакона сохранения энергии.

Пусть на брус действуют силы ,, … . Они вызывают в теле перемещения точки
и напряжения
. Дадим телудополнительные малые возможные перемещения
. В механике запись вида
означает фразу «возможное значение величиныа ». Эти возможные перемещения вызовут в теле дополнительные возможные деформации
. Они приведут к появлению дополнительных внешних сил и напряжений
, δ.

Вычислим работу внешних сил на дополнительных возможных малых перемещениях:

Здесь
— дополнительные перемещения тех точек, в которых приложены силы,, …

Рассмотрим снова малый элемент с поперечным сечением dA и длинойdz (см. рис.8.5. и 8.6.). Согласно определению дополнительное удлинение  dz этого элемента вычисляется по формуле:

dz =  dz.

Сила растяжения элемента будет:

dN = (+δ)dA ≈ dA ..

Работа внутренних сил на дополнительных перемещениях вычисляется для малого элемента следующим образом:

dW = dN  dz =  dA  dz =  dV

С
уммируя энергию деформации всех малых элементов получим полную энергию деформации:

Закон сохранения энергии дает:

.

Это соотношение и называется принципом возможных перемещений (его называют также принципом виртуальных перемещений). Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют еще и касательные напряжения. Тогда можно получить, что к энергии деформации добавится следующее слагаемое:

Здесь  — касательное напряжение,  -сдвиг малого элемента. Тогда принцип возможных перемещений примет вид:

В отличие от предыдущей формы записи закона сохранения энергии здесь нет предположения о том, что силы начинают возрастать постепенно, и возрастают они пропорционально перемещениям

7) Эффект Пуассона.

Рассмотрим картину удлинения образца:

Явление укорочения элемента тела поперек направления удлинения называется эффектом Пуассона .

Найдем продольную относительную деформацию.

Поперечная относительная деформация будет:

Коэффициентом Пуассона называется величина:

Для изотропных материалов (сталь, чугун, бетон) коэффициент Пуассона

Это означает, что в поперечном направлении деформация меньше продольной.

Примечание : современные технологии могут создать композиционные материалы, у которых коэффициент Пуассон >1, то есть поперечная деформация будет больше, чем продольная. Например, это имеет место для материала, армированного жесткими волокнами под малым углом
<<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине
, т.е. чем меньше, тем больше коэффициент Пуассона.

Рис.8.8. Рис.8.9

Еще более удивительным является материал, приведенный на (рис.8.9.), причем для такого армирования имеет место парадоксальный результат – продольное удлинение ведет к увеличению размеров тела и в поперечном направлении.

8) Обобщенный закон Гука.

Рассмотрим элемент, который растягивается в продольном и поперечном направлениях. Найдем деформацию, возникающую в этих направлениях.

Вычислим деформацию , возникающую от действия:

Рассмотрим деформацию от действия , которая возникает в результате эффекта Пуассона:

Общая деформация будет:

Если действует и , то добавиться еще одно укорочение в направлении осиx
.

Следовательно:

Аналогично:

Эти соотношения называются обобщенным законом Гука.

Интересно, что при записи закона Гука делается предположение о независимости деформаций удлинения от деформаций сдвига (о независимости от касательных напряжений, что одно и то же) и наоборот. Эксперименты хорошо подтверждают эти предположения. Забегая вперед, отметим, что прочность напротив сильно зависит от сочетания касательных и нормальных напряжений.

Примечание: Приведенные выше законы и предположения подтверждаются многочисленными прямыми и косвенными экспериментами, но, как и все другие законы, имеют ограниченную область применимости.

Министерство образования АР Крым

Таврический Национальный Университет им. Вернадского

Исследование физического закона

ЗАКОН ГУКА

Выполнил: студент 1 курса

физического факультета гр. Ф-111

Потапов Евгений

Симферополь-2010

План:

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона:

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Формулировка закона — сила упругости прямо пропорциональна деформации.

Математическое выражение закона:

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь сила натяжения стержня, Δ— его удлинение(сжатие), а называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

т о закон Гука запишется так

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где σ ij — тензор напряжений, -тензор деформаций. Для изотропного материала тензор ijkl содержит только два независимых коэффициента.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

История об этом умалчивает..

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

Литература.

1. Интернет-ресурсы: — сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

4. лекции по механике Рябушкин Д.С.

Коэффициент упругости

Коэффицие́нт упру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой , иногда или . Имеет размерность Н/м или кг/с2 (в СИ), дин/см или г/с2 (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Определение и свойства

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины: k = F e / Δ l . {\displaystyle k=F_{\mathrm {e} }/\Delta l.} Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S {\displaystyle S} и длины L {\displaystyle L}), записав коэффициент упругости как k = E ⋅ S / L . {\displaystyle k=E\cdot S/L.} Величина E {\displaystyle E} называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня.

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

 Параллельное соединение пружин. 

 Последовательное соединение пружин.

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},…,k_{n},} жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть k = k 1 + k 2 + k 3 + . . . + k n . {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+k_{3}+…+k_{n}.}

Доказательство

В параллельном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},…,k_{n}.} Из III закона Ньютона, F = F 1 + F 2 + . . . + F n . {\displaystyle F=F_{1}+F_{2}+…+F_{n}.} (К ним прикладывается сила F {\displaystyle F} . При этом к пружине 1 прикладывается сила F 1 , {\displaystyle F_{1},} к пружине 2 сила F 2 , {\displaystyle F_{2},} … , к пружине n {\displaystyle n} сила F n . {\displaystyle F_{n}.})

Теперь из закона Гука (F = − k x {\displaystyle F=-kx} , где x — удлинение) выведем: F = k x ; F 1 = k 1 x ; F 2 = k 2 x ; . . . ; F n = k n x . {\displaystyle F=kx;F_{1}=k_{1}x;F_{2}=k_{2}x;…;F_{n}=k_{n}x.} Подставим эти выражения в равенство (1): k x = k 1 x + k 2 x + . . . + k n x ; {\displaystyle kx=k_{1}x+k_{2}x+…+k_{n}x;} сократив на x , {\displaystyle x,} получим: k = k 1 + k 2 + . . . + k n , {\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+…+k_{n},} что и требовалось доказать.

Последовательное соединение

При последовательном соединении n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями, равными k 1 , k 2 , k 3 , . . . , k n , {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},…,k_{n},} общая жёсткость определяется из уравнения: 1 / k = (1 / k 1 + 1 / k 2 + 1 / k 3 + . . . + 1 / k n) . {\displaystyle 1/k=(1/k_{1}+1/k_{2}+1/k_{3}+…+1/k_{n}).}

Доказательство

В последовательном соединении имеется n {\displaystyle n} пружин с жёсткостями k 1 , k 2 , . . . , k n . {\displaystyle k_{1},k_{2},…,k_{n}.} Из закона Гука (F = − k l {\displaystyle F=-kl} , где l — удлинение) следует, что F = k ⋅ l . {\displaystyle F=k\cdot l.} Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения l 1 + l 2 + . . . + l n = l . {\displaystyle l_{1}+l_{2}+…+l_{n}=l.}

На каждую пружину действует одна и та же сила F . {\displaystyle F.} Согласно закону Гука, F = l 1 ⋅ k 1 = l 2 ⋅ k 2 = . . . = l n ⋅ k n . {\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=…=l_{n}\cdot k_{n}.} Из предыдущих выражений выведем: l = F / k , l 1 = F / k 1 , l 2 = F / k 2 , . . . , l n = F / k n . {\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad …,\quad l_{n}=F/k_{n}.} Подставив эти выражения в (2) и разделив на F , {\displaystyle F,} получаем 1 / k = 1 / k 1 + 1 / k 2 + . . . + 1 / k n , {\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+…+1/k_{n},} что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Стержень постоянного сечения

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

K = E S L 0 , {\displaystyle k={\frac {E\,S}{L_{0}}},} Е — модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень; — площадь поперечного сечения; 0 — длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина

 Витая цилиндрическая пружина сжатия.

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

K = G ⋅ d D 4 8 ⋅ d F 3 ⋅ n , {\displaystyle k={\frac {G\cdot d_{\mathrm {D} }^{4}}{8\cdot d_{\mathrm {F} }^{3}\cdot n}},} — диаметр проволоки; F — диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки); — число витков; — модуль сдвига (для обычной стали ≈ 80 ГПа, для пружинной стали ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).

Источники и примечания

  1. Упругая деформация (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
  2. Dieter Meschede, Christian Gerthsen. Physik. — Springer, 2004. — P. 181 ..
  3. Bruno Assmann. Technische Mechanik: Kinematik und Kinetik. — Oldenbourg, 2004. — P. 11 ..
  4. Динамика, Сила упругости (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.
  5. Механические свойства тел (рус.). Архивировано 30 июня 2012 года.

10.Закон Гука при растяжении-сжатии. Модуль упругости (модуль Юнга).

При осевом растяжении или сжатии до предела пропорциональности σ pr справедлив закон Гука, т.е. закон о прямо пропорциональной зависимости между нормальными напряжениями  и продольными относительными деформациями :


 (3.10)

или

 (3.11)

Здесь Е – коэффициент пропорциональности в законе Гука имеет размерность напряжения и называется модулем упругости первого рода , характеризующим упругие свойства материала, или модулем Юнга .

Относительной продольной деформацией называется отношение абсолютной продольной деформации участка

 стержня к длине этого участка  до деформации:


 (3.12)

Относительная поперечная деформация будет равна: » = = b/b, где b = b 1 – b.

Отношение относительной поперечной деформации » к относительной продольной деформации , взятое по модулю, есть для каждого материала величина постоянная и называется коэффициентом Пуассона:

Определение абсолютной деформации участка бруса

В формулу (3.11) вместо  и подставим выражения (3.1) и (3.12):

Отсюда получим формулу для определения абсолютного удлинения (или укорочения) участка стержня длиной :


 (3.13)

В формуле (3.13) произведение ЕА называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии, которая измеряется в кН, или в МН.

По этой формуле определяется абсолютная деформация , если на участке продольная сила постоянна. В случае, когда на участке продольная сила переменна, она определяется по формуле:


 (3.14)

где N(х) – функция продольной силы по длине участка.

11.Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона

12.Определение перемещений при растяжении-сжатии. Закон Гука для участка бруса. Определение перемещений сечений бруса

Определим горизонтальное перемещение точки а оси бруса (рис. 3.5) – u a: оно равно абсолютной деформации части бруса а , заключенной между заделкой и сечением, проведенным через точку, т.е.

В свою очередь удлинение участка а состоит из удлинений отдельных грузовых участков 1, 2 и 3:

Продольные силы на рассматриваемых участках:

Следовательно,

Тогда

Аналогично можно определить перемещение любого сечения бруса и сформулировать следующее правило:

перемещение любого сечения стержня при растяжении–сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций грузовых участков, заключенных между рассматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.


 (3.16)

Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:


 , (3.17)

где

 – наибольшее значение перемещения сечения, взятое по модулю из эпюры перемещений;u – допускаемое значение перемещения сечения для данной конструкции или ее элемента, устанавливаемое в нормах.

13.Определение механических характеристик материалов. Испытание на растяжение. Испытание на сжатие.

Для количественной оценки основных свойств материалов, как

Правило, экспериментально определяют диаграмму рас­тяжения в координатах  и  (рис. 2.9), На диаграмме от­мечены характерные точки. Дадим их определение.

Наибольшее напряже­ние, до которого материал следует закону Гука, назы­вается пределом про­порциональности  П . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой  = () к оси  определяется величиной Е .

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения  У , называемого пределом упругости . Под пределом упругости  У понимается такое наибольшее напряжение, до которого матери­ал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгруз­ки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина  Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии  Т соответственно заменяется на  ТР и  ТС . При напряже­ниях больших  Т в теле конструкции развиваются пластические деформации  П , которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит на­звание предела прочности, или временного сопротивления, и обоз­начается через,  ВР (при сжатии  ВС ).

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные ап­проксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упру­го  пластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля . По этой диаграмме на­пряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука  = Е , а далее при росте ,  =  Т (рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации но­сит название пластичности . На рис. 2.9 была представлена ха­рактерная диаграмма для пластических материалов.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости , т.е. способность материала разрушаться без образова­ния заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким . К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.

1. Что называется деформацией тела? Как формулируется закон Гука?

Вахит шавалиев

Деформациями называются любые изменения формы, размеров и объема тела. Деформация определяет конечный результат движения частей тела друг относительно друга.
Упругими деформациями называются деформации, полностью исчезающие после устранения внешних сил.
Пластическими деформациями называются деформации, полностью или частично сохраняющиеся после прекращения действии внешних сил.
Силы упругости – это силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные в сторону, противоположную смещению частиц при деформации.
Закон Гука
Небольшие и кратковременные деформации с достаточной степенью точности могут рассматриваться как упругие. Для таких деформаций справедлив закон Гука:
Сила упругости, возникающая при деформации тела прямо пропорциональна абсолютному удлинению тела и направлена в сторону, противоположную смещению частиц тела:
\
где F_x- проекция силы на ось x, k-жесткость тела, зависящая от размеров тела и материала, из которого оно изготовлено, единица жесткости в системе СИ Н/м.
http://ru.solverbook.com/spravochnik/mexanika/dinamika/deformacii-sily-uprugosti/

Варя гусева

Деформация — это изменение формы или объёма тела. Виды деформации — растяжение или сжатия (примеры: растянуть резинку или сжать, аккордеон) , изгиб (прогнулась доска под человеком, изогнули лист бумаги) , кручение (работа отвёрткой, выжимание белья руками) , сдвиг (при торможении автомобиля шины деформируются за счёт силы трения) .
Закон Гука: Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
или
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.
Формула закона Гука: Fупр=kx

Закон Гука. Можно выразить формулой F= -kх или F= kх?

⚓ Выдр ☸

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь F сила натяжения стержня, Δl — его удлинение (сжатие) , а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью) . Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как
Величина E называется модулем Юнга и зависит только от свойств тела.

Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
то закон Гука запишется как
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.
[править]
Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонентов) . Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга Cijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора Cijkl, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
Для изотропного материала тензор Cijkl содержит только два независимых коэффициента.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.
[править]

короче, можно и так, и так, смотря что вы хотите указать в итоге: просто модуль силы Гука или еще и направление этой силы. Строго говоря, конечно, -kx, т. к. сила Гука направлена против положительного приращения координаты конца пружины.

Министерство образования АР Крым

Таврический Национальный Университет им. Вернадского

Исследование физического закона

ЗАКОН ГУКА

Выполнил: студент 1 курса

физического факультета гр. Ф-111

Потапов Евгений

Симферополь-2010

План:

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона:

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Формулировка закона — сила упругости прямо пропорциональна деформации.

Математическое выражение закона:

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь сила натяжения стержня, Δ— его удлинение(сжатие), а называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука запишется так

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где σ ij — тензор напряжений, — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор ijkl содержит только два независимых коэффициента.

Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

История об этом умалчивает..

Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

Литература.

1. Интернет-ресурсы: — сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

4. лекции по механике Рябушкин Д.С.

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σ х , равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σ y σ z τ х y τ х z τ yz = 0.

Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой

где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа , поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).

Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций

где μ — константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25-0,3.

Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σ x σ y σ z , равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации

Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения

Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.

Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р , даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М Qδ , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).

Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.

Константа называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука . Покажем теперь, что модуль сдвига выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ . Для этого рассмотрим частный случай, когда σ х σ σ y -σ и σ z = 0.

Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0bс , нормальные напряжения σ на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом . Из уравнений (5.2а) следует, что

то есть удлинение горизонтального элемента 0равно укорочению вертикального элемента 0ε y = —ε x .

Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0bс :

Отсюда следует, что

Поделиться:

Оставьте комментарий

двадцать + тринадцать =